Disequazione con moduli a cinque zeri

Testo

Risolvi la disequazione $x|x^3-x|-3x|x^2-1|>0.$ Il grafico della funzione $y=x|x^3-x|-3x|x^2-1|$ tocca l’asse $x$ in ben $5$ punti: sfrutta la scomposizione per trovarli.

Soluzione

Poiché $x^3-x=x(x^2-1)$, si ha $|x^3-x|=|x|\,|x^2-1|$. Raccogliamo: $x|x|\,|x^2-1|-3x|x^2-1|=|x^2-1|\cdot x(|x|-3).$ Il fattore $|x^2-1|\ge0$ si annulla in $x=\pm1$; il fattore $x(|x|-3)$ si annulla in $x=0,\pm3$: ecco i 5 zeri $-3,-1,0,1,3$. Poiché $|x^2-1|\ge0$, il segno (per $x\neq\pm1$) è quello di $x(|x|-3)$:

• per $x>0$: $x(x-3)>0 \iff x>3$;
• per $x<0$: $x(-x-3)>0 \iff -3<x<0$.

Quindi la disequazione (stretta) è verificata per $\boxed{-3<x<0\ (x\neq-1)\ \ \vee\ \ x>3}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Scomposizione · Studio del segno · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione