Intersezioni tra parabola con modulo e retta

Testo

Trova le intersezioni tra $y=x^2-|x|$ e la retta $y=2-\frac12 x$.

Soluzione

Il valore assoluto si toglie per casi, ottenendo due sistemi: $\begin{cases} y=x^2-x \\ y=2-\frac12 x \end{cases}\ (x\ge0) \qquad \begin{cases} y=x^2+x \\ y=2-\frac12 x \end{cases}\ (x<0).$ La parabola $y=x^2-x$ ha vertice $V\left(\frac12,-\frac14\right)$; quella $y=x^2+x$ ha vertice $V'\left(-\frac12,-\frac14\right)$.

Caso $x\ge0$: $x^2-x=2-\frac12 x \implies 2x^2-x-4=0 \implies x=\dfrac{1+\sqrt{33}}{4}\approx1{,}69$ (l’altra radice è negativa, non accettabile).

Caso $x<0$: $x^2+x=2-\frac12 x \implies 2x^2+3x-4=0 \implies x=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}\approx-2{,}35$ (l’altra radice è positiva, non accettabile).

Le due intersezioni hanno ascisse $\boxed{x=\dfrac{1+\sqrt{33}}{4}}$ e $\boxed{x=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}}$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Intersezione retta parabola · Valore assoluto · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema