Disequazioni intere e prodotto di fattori

Testo

Risolvi:

• (a) $(3x-2)^2\le (x+3)^2$
• (b) $-x^2-3x+4\le 0$
• (c) $-3x^4+x^3+4x^2\ge 0$
• (d) $(2x+1)(-x-2)(3+2x^2)\le 0$

Soluzione

(a) Portando tutto a sinistra e usando la differenza di quadrati: $(3x-2)^2-(x+3)^2\le 0 \iff \big[(3x-2)-(x+3)\big]\big[(3x-2)+(x+3)\big]\le 0 \iff (2x-5)(4x+1)\le 0.$ Le radici sono $x=\tfrac52$ e $x=-\tfrac14$; la parabola ha concavità verso l’alto, quindi $\le 0$ tra le radici: $-\tfrac14\le x\le \tfrac52$.

(b) Cambiando segno: $-x^2-3x+4\le 0 \iff x^2+3x-4\ge 0 \iff (x+4)(x-1)\ge 0$. Soluzione all’esterno delle radici: $x\le -4\ \vee\ x\ge 1$.

(c) Cambiando segno e raccogliendo: $-3x^4+x^3+4x^2\ge 0 \iff x^2(-3x^2+x+4)\ge 0$. Poiché $x^2\ge 0$ (e $=0$ in $x=0$), per $x\neq 0$ il segno dipende da $-3x^2+x+4\ge 0 \iff 3x^2-x-4\le 0 \iff (3x-4)(x+1)\le 0$, cioè $-1\le x\le \tfrac43$ (intervallo che contiene già $x=0$). Soluzione: $-1\le x\le \tfrac43$.

(d) Il fattore $3+2x^2>0$ sempre. Resta $(2x+1)(-x-2)\le 0 \iff -(2x+1)(x+2)\le 0 \iff (2x+1)(x+2)\ge 0$. Radici $x=-\tfrac12$ e $x=-2$; soluzione all’esterno: $x\le -2\ \vee\ x\ge -\tfrac12$.

$\boxed{\begin{aligned} &\text{(a) } -\tfrac14\le x\le \tfrac52; \quad \text{(b) } x\le -4 \vee x\ge 1;\\ &\text{(c) } -1\le x\le \tfrac43; \quad \text{(d) } x\le -2 \vee x\ge -\tfrac12\end{aligned}}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione grado superiore · Disequazione secondo grado · Studio del segno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione