Disequazioni fratte con studio del segno

Testo

Risolvi:

• (a) $\dfrac{3-x}{1+x}\le 0$
• (b) $\dfrac{(5-x)(x^2+4)}{x^2-4}\ge 0$
• (c) $\dfrac{1}{2-x}-\dfrac{3x}{(2-x)^2}\ge \dfrac{x}{(x+1)(2-x)}$

Soluzione

(a) C.E. $x\neq -1$. Capisaldi: $x=3$ (numeratore), $x=-1$ (denominatore).

	$x<-1$	$-1<x<3$	$x>3$
$3-x$	$+$	$+$	$-$
$1+x$	$-$	$+$	$+$
rapporto	$-$	$+$	$-$

Il rapporto è $\le 0$ per $x<-1\ \vee\ x\ge 3$ (in $x=3$ il numeratore si annulla).

(b) Poiché $x^2+4>0$, la disequazione equivale a $\dfrac{5-x}{(x-2)(x+2)}\ge 0$, con C.E. $x\neq \pm 2$. Capisaldi: $-2,\ 2,\ 5$.

	$x<-2$	$-2<x<2$	$2<x<5$	$x>5$
$5-x$	$+$	$+$	$+$	$-$
$(x-2)(x+2)$	$+$	$-$	$+$	$+$
rapporto	$+$	$-$	$+$	$-$

Soluzione: $x<-2\ \vee\ 2<x\le 5$ (in $x=5$ il numeratore si annulla).

(c) C.E. $x\neq 2,\ x\neq -1$. Portando tutto su denominatore comune $(2-x)^2(x+1)$: $\frac{(2-x)(x+1)-3x(x+1)-x(2-x)}{(2-x)^2(x+1)}\ge 0.$ Il numeratore è $(-x^2+x+2)+(-3x^2-3x)+(x^2-2x)=-3x^2-4x+2$, quindi $\frac{-3x^2-4x+2}{(2-x)^2(x+1)}\ge 0 \iff \frac{3x^2+4x-2}{(2-x)^2(x+1)}\le 0.$ Radici del numeratore: $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{10}}{3}$ (numericamente $\approx -1{,}721$ e $\approx 0{,}387$). Poiché $(2-x)^2>0$ (con $x\neq 2$), il segno dipende da $\dfrac{3x^2+4x-2}{x+1}$. Capisaldi ordinati: $\dfrac{-2-\sqrt{10}}{3},\ -1,\ \dfrac{-2+\sqrt{10}}{3}$.

	$x<\frac{-2-\sqrt{10}}{3}$	$\frac{-2-\sqrt{10}}{3}<x<-1$	$-1<x<\frac{-2+\sqrt{10}}{3}$	$x>\frac{-2+\sqrt{10}}{3}$
$3x^2+4x-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
$x+1$	$-$	$-$	$+$	$+$
rapporto	$-$	$+$	$-$	$+$

Il rapporto è $\le 0$ per $x\le \dfrac{-2-\sqrt{10}}{3}\ \vee\ \Big(-1<x\le \dfrac{-2+\sqrt{10}}{3}\Big)$, con $x\neq 2$ (comunque fuori dagli intervalli).

$\boxed{\begin{aligned} &\text{(a) } x<-1 \vee x\ge 3; \quad \text{(b) } x<-2 \vee 2<x\le 5;\\ &\text{(c) } x\le \tfrac{-2-\sqrt{10}}{3}\ \vee\ \Big(-1<x\le \tfrac{-2+\sqrt{10}}{3}\Big)\end{aligned}}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Disequazione secondo grado · Studio del segno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione