Disequazioni intere di vario grado

Testo

Risolvi:

• (a) $3x-2\le x+3$
• (b) $-x^2+x+4\le 0$
• (c) $-x^3+x^2+4x\ge 0$
• (d) $(x+1)^2(x-2)(3-2x)\le 0$

Soluzione

(a) $3x-2\le x+3 \implies 2x\le 5 \implies x\le \tfrac52$.

(b) Cambiando segno: $-x^2+x+4\le 0 \iff x^2-x-4\ge 0$. Le radici sono $x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}$. La parabola ha concavità verso l’alto, quindi $\ge 0$ all’esterno delle radici: $x\le \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\ \vee\ x\ge \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}.$

(c) Cambiando segno: $-x^3+x^2+4x\ge 0 \iff x^3-x^2-4x\le 0 \iff x(x^2-x-4)\le 0$. I capisaldi sono $x=0$ e le radici $x=\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}$ (numericamente $\approx -1{,}56$ e $\approx 2{,}56$).

	$x<\frac{1-\sqrt{17}}{2}$	$\frac{1-\sqrt{17}}{2}<x<0$	$0<x<\frac{1+\sqrt{17}}{2}$	$x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}$
$x$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x^2-x-4$	$+$	$-$	$-$	$+$
prodotto	$-$	$+$	$-$	$+$

Il prodotto è $\le 0$ per $x\le \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\ \vee\ 0\le x\le \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$.

(d) Il fattore $(x+1)^2\ge 0$ sempre, e si annulla in $x=-1$ (dove il prodotto è nullo, quindi $\le 0$ è verificata). Per $x\neq -1$ il segno dipende da $(x-2)(3-2x)\le 0$. Le radici sono $x=2$ e $x=\tfrac32$; il prodotto ha concavità verso il basso (coefficiente direttivo $-2$), quindi è positivo tra le radici e $\le 0$ all’esterno: $x\le \tfrac32\ \vee\ x\ge 2$. Il punto $x=-1$ è già incluso.

$\boxed{\begin{aligned} &\text{(a) } x\le \tfrac52; \quad \text{(b) } x\le \tfrac{1-\sqrt{17}}{2} \vee x\ge \tfrac{1+\sqrt{17}}{2};\\ &\text{(c) } x\le \tfrac{1-\sqrt{17}}{2} \vee 0\le x\le \tfrac{1+\sqrt{17}}{2}; \quad \text{(d) } x\le \tfrac32 \vee x\ge 2\end{aligned}}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione grado superiore · Disequazione secondo grado · Studio del segno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione