Dimostrare $\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{2ab}{a+b}$ per $a,b>0$

Testo

Dimostra che, per ogni coppia di numeri positivi $a,b$, la media aritmetica non è minore della media armonica: $\frac{a+b}{2}\ge\frac{2ab}{a+b}.$

Soluzione

Poiché $a,b>0$, si ha $a+b>0$; calcoliamo la differenza a denominatore comune: $\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge 0.$ Il numeratore è un quadrato e il denominatore è positivo, quindi il rapporto è $\ge 0$. Uguaglianza se e solo se $a=b$. $\boxed{\frac{a+b}{2}\ge\frac{2ab}{a+b},\qquad =\ \text{sse } a=b.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Media aritmetica
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione