Dimostrare $(a^2+b^2)(p^2+q^2)\ge (ap+bq)^2$

Testo

Dimostra che, per ogni scelta dei numeri reali $a,b,p,q$, $(a^2+b^2)(p^2+q^2)\ge (ap+bq)^2.$

Soluzione

Sviluppiamo la differenza tra primo e secondo membro: $(a^2+b^2)(p^2+q^2)-(ap+bq)^2=a^2p^2+a^2q^2+b^2p^2+b^2q^2-\big(a^2p^2+2apbq+b^2q^2\big).$ Semplificando restano i termini $a^2q^2-2apbq+b^2p^2=(aq-bp)^2\ge 0.$ Quindi il primo membro è $\ge$ del secondo. L’uguaglianza vale se e solo se $aq=bp$. $\boxed{(a^2+b^2)(p^2+q^2)\ge (ap+bq)^2,\qquad =\ \text{sse } aq=bp.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Quadrato
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione