Dimostrare $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$

Testo

Dimostra che, per ogni terna di numeri reali $x,y,z$, $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx.$

Soluzione

Consideriamo il doppio della differenza fra i due membri e completiamo i quadrati: $2\big(x^2+y^2+z^2\big)-2\big(xy+yz+zx\big)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2.$ La somma di tre quadrati è $\ge 0$, quindi $x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\ge 0$. L’uguaglianza vale se e solo se $x-y=y-z=z-x=0$, cioè $x=y=z$. $\boxed{x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx,\qquad =\ \text{sse } x=y=z.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Quadrato · Scomposizione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione