Disequazioni fratte con tabella dei segni

Testo

Risolvi con la tabella del segno, studiando graficamente il segno dei vari fattori:

• (a) $\dfrac{x (x^2+x+1)}{(x-3)^3(x-2)^4}\le 0$
• (b) $\dfrac{3+x}{x}-\dfrac{x+1}{2-x}\le 2$
• (c) $\dfrac{4-x^2}{x}>0$
• (d) $\dfrac{(1-x)^2}{(x-1)^4}\le 0$

Soluzione

(a) $x^2+x+1>0$ sempre ($\Delta<0$) e $(x-2)^4>0$ per $x\neq2$: il segno è quello di $\dfrac{x}{(x-3)^3}$, cioè di $x(x-3)$. Quindi $\le 0$ per $0\le x\le 3$, escludendo $x=2$ e $x=3$ (dove si annulla il denominatore): $\;0\le x<3,\ x\neq 2$.

(b) Portiamo tutto a sinistra. Con $\dfrac{x+1}{2-x}=-\dfrac{x+1}{x-2}$ si ottiene $\dfrac{6(x-1)}{x(x-2)}\le 0$. Segno di $\dfrac{x-1}{x(x-2)}$: soluzione $x<0 \ \vee\ 1\le x<2$.

(c) $\dfrac{(2-x)(2+x)}{x}>0$. Studio dei segni con capisaldi $-2,0,2$: soluzione $x<-2 \ \vee\ 0<x<2$.

(d) $\dfrac{(1-x)^2}{(x-1)^4}=\dfrac{1}{(x-1)^2}>0$ per ogni $x\neq1$: non è mai $\le 0$. Nessuna soluzione.

$\boxed{\text{(a) } 0\le x<3,\,x\neq2;\ \ \text{(b) } x<0\vee 1\le x<2;\ \ \text{(c) } x<-2\vee 0<x<2;\ \ \text{(d) } \varnothing}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione