Disequazione fratta 2/x − x/(2−x) ≥ 1

Testo

Risolvi la seguente disequazione fratta: $\frac{2}{x}-\frac{x}{2-x}\ge 1.$

Soluzione

Portiamo tutto a sinistra a denominatore comune $x(2-x)$: $\frac{2(2-x) - x\cdot x - x(2-x)}{x(2-x)} = \frac{4 - 4x}{x(2-x)} \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1-x}{x(2-x)} \ge 0.$ Capisaldi: $x=1$ (numeratore, incluso), $x=0,\ x=2$ (denominatore, esclusi). Studio del segno di $\dfrac{1-x}{x(2-x)}$:

• $0 < x \le 1$: positivo (con $x=1$ incluso, dà $0$);
• $x > 2$: positivo. $\boxed{0 < x \le 1 \ \vee\ x > 2}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione