Disequazione fratta 1/(2+x) ≤ 4/(1+x)

Testo

Risolvi la seguente disequazione fratta: $\frac{1}{2+x}\leq \frac{4}{1+x}.$

Soluzione

Portiamo tutto a sinistra a denominatore comune $(2+x)(1+x)$: $\frac{1}{2+x}-\frac{4}{1+x} = \frac{(1+x) - 4(2+x)}{(2+x)(1+x)} = \frac{-3x-7}{(2+x)(1+x)} \le 0.$ Cambiando segno (e verso): $\dfrac{3x+7}{(2+x)(1+x)} \ge 0$. Capisaldi: $x=-\tfrac73$ (numeratore, incluso), $x=-2,\ x=-1$ (denominatore, esclusi). Studio del segno:

• $-\tfrac73 \le x < -2$: positivo;
• $x > -1$: positivo. $\boxed{-\tfrac{7}{3} \le x < -2 \ \vee\ x > -1}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione