Disequazione fratta (2x+1)/(2−x) + 3 ≤ 1 − (x+4)/(1−2x)

Testo

Risolvi la seguente disequazione fratta: $\frac{2x+1}{2-x}+3 \leq 1 - \frac{x+4}{1-2x}.$

Soluzione

Portiamo tutto a sinistra: $\dfrac{2x+1}{2-x}+2+\dfrac{x+4}{1-2x} \le 0$, con denominatore comune $(2-x)(1-2x)$. Sviluppando il numeratore: $(2x+1)(1-2x) + 2(2-x)(1-2x) + (x+4)(2-x) = (1-4x^2) + (4x^2-10x+4) + (-x^2-2x+8) = -x^2 - 12x + 13.$ Quindi $\frac{-(x^2+12x-13)}{(2-x)(1-2x)} \le 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{(x+13)(x-1)}{(2-x)(1-2x)} \ge 0.$ Capisaldi: $x=-13,\ x=1$ (numeratore, inclusi), $x=\tfrac12,\ x=2$ (denominatore, esclusi). Studio del segno:

• $x\le -13$: positivo;
• $\tfrac12 < x \le 1$: positivo;
• $x > 2$: positivo. $\boxed{x \le -13 \ \vee\ \tfrac12 < x \le 1 \ \vee\ x > 2}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione