Disequazione fratta x/(x−1) ≤ 1 − 1/(1−2x)

Testo

Risolvi la seguente disequazione fratta: $\frac{x}{x - 1} \leq 1 - \frac{1}{1-2x}.$

Soluzione

Il secondo membro: $1-\dfrac{1}{1-2x} = \dfrac{(1-2x)-1}{1-2x} = \dfrac{-2x}{1-2x} = \dfrac{2x}{2x-1}$. Portiamo tutto a sinistra a denominatore comune $(x-1)(2x-1)$: $\frac{x}{x-1} - \frac{2x}{2x-1} = \frac{x(2x-1) - 2x(x-1)}{(x-1)(2x-1)} = \frac{x}{(x-1)(2x-1)} \le 0.$ Capisaldi: $x=0$ (numeratore), $x=\tfrac12$ e $x=1$ (denominatore, esclusi). Studiando il segno di $\dfrac{x}{(x-1)(2x-1)}$:

• $x\le 0$: espressione $\le 0$ (con $x=0$ incluso, dà $0$);
• $\tfrac12 < x < 1$: espressione $<0$. $\boxed{x \le 0 \ \vee\ \tfrac12 < x < 1}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione