Disequazioni con valore assoluto e studio del segno

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni:

• (a) $|x+1|+|x^2-1|\le 0$
• (b) $\dfrac{2x-1}{5x}-\dfrac{1-x}{2(x-1)}\le 4$
• (c) $\dfrac{(x+1)^2(x-4)^2}{2x^2+x+1}\le 0$
• (d) $\dfrac{2}{1-2x}-\dfrac{1}{2x}+4>0$

Soluzione

(a) Somma di due valori assoluti $\le 0$: possibile solo se entrambi nulli. $|x+1|=0 \Rightarrow x=-1$ e $|x^2-1|=0 \Rightarrow x=\pm1$: l’unico valore comune è $x=-1$.

(b) Poiché $\dfrac{1-x}{2(x-1)}=-\dfrac12$ (per $x\neq 1$), la disequazione diventa $\dfrac{2x-1}{5x}+\dfrac12\le 4 \implies \dfrac{2x-1}{5x}\le \dfrac72 \implies \dfrac{31x+2}{x}\ge 0$. Capisaldi $-\dfrac{2}{31}$ e $0$ (escluso), più $x\neq 1$: soluzione $x\le -\dfrac{2}{31} \ \vee\ (x>0 \ \wedge\ x\neq 1)$.

(c) Il denominatore $2x^2+x+1$ ha $\Delta<0$, sempre positivo; il numeratore $(x+1)^2(x-4)^2\ge 0$. La frazione è $\le 0$ solo dove il numeratore si annulla: $x=-1 \ \vee\ x=4$.

(d) Riducendo a denominatore comune $2x(1-2x)$: $\dfrac{-16x^2+14x-1}{2x(1-2x)}>0$. Zeri del numeratore $x=\dfrac{7\pm\sqrt{33}}{16}$, denominatore nullo in $0$ e $\dfrac12$. Studio del segno: $x<0 \ \vee\ \dfrac{7-\sqrt{33}}{16}<x<\dfrac12 \ \vee\ x>\dfrac{7+\sqrt{33}}{16}$.

$\boxed{\begin{aligned} &\text{(a) } x=-1; \quad \text{(b) } x\le -\tfrac{2}{31} \vee (x>0 \wedge x\neq 1); \quad \text{(c) } x=-1 \vee x=4;\\ &\text{(d) } x<0 \vee \tfrac{7-\sqrt{33}}{16}<x<\tfrac12 \vee x>\tfrac{7+\sqrt{33}}{16}\end{aligned}}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni · Valore assoluto
Competenze: Risolvere disequazioni · Scomporre
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione