Disequazioni con valore assoluto e fratte

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni:

• (a) $|x+2|+|x-2|\ge 0$
• (b) $\dfrac{2x-1}{5}-\dfrac{3-2x}{2}\le 4$
• (c) $\dfrac{x^2+7x+6}{x^2+x+1}\le 0$
• (d) $\dfrac{2}{1-2x}-\dfrac{1}{2}+x>-1$

Soluzione

(a) Somma di due valori assoluti: sempre $\ge 0$, quindi verificata per ogni $x$.

(b) Moltiplicando per $10$: $2(2x-1)-5(3-2x)\le 40 \implies 4x-2-15+10x\le 40 \implies 14x\le 57 \implies x\le \dfrac{57}{14}$.

(c) Il denominatore $x^2+x+1$ ha $\Delta<0$, sempre positivo; resta il numeratore $x^2+7x+6=(x+1)(x+6)\le 0 \implies -6\le x\le -1$.

(d) $\dfrac{2}{1-2x}-\dfrac12+x+1>0 \implies \dfrac{-2x^2+\tfrac52}{1-2x}>0$, cioè $\dfrac{5-4x^2}{2(1-2x)}>0$. Capisaldi $-\dfrac{\sqrt5}{2}$, $\dfrac12$ (escluso), $\dfrac{\sqrt5}{2}$. Studio del segno: $-\dfrac{\sqrt5}{2}<x<\dfrac12 \ \vee\ x>\dfrac{\sqrt5}{2}$.

$\boxed{\begin{aligned} &\text{(a) } \forall x\in\mathbb{R}; \quad \text{(b) } x\le \tfrac{57}{14}; \quad \text{(c) } -6\le x\le -1;\\ &\text{(d) } -\tfrac{\sqrt5}{2}<x<\tfrac12 \vee x>\tfrac{\sqrt5}{2}\end{aligned}}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni · Valore assoluto
Competenze: Risolvere disequazioni · Scomporre
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione