Prezzo di guadagno ottimale per automobili di lusso

Testo

La casa automobilistica Fantaserati vende macchine di lusso. A un prezzo di $100\,000$ € a vettura vende $300$ vetture l’anno; a un prezzo di $50\,000$ € a vettura ne vende $1000$ l’anno. Con un costo di produzione di $30\,000$ € a vettura, determina il prezzo che garantisce un guadagno (ricavi meno costi) ottimale.

Soluzione

Suppongo che le vetture vendute $q$ dipendano linearmente dal prezzo $p$. La retta passa per $(100\,000;\,300)$ e $(50\,000;\,1000)$: $m=\frac{1000-300}{50\,000-100\,000}=\frac{700}{-50\,000}=-0{,}014,\qquad q=1700-0{,}014\,p.$ Il guadagno è $G=(\text{prezzo}-\text{costo})\cdot q$: $G(p)=(p-30\,000)(1700-0{,}014\,p)=-0{,}014\,p^2+2120\,p-51\,000\,000.$ È una parabola con concavità verso il basso: il massimo è nel vertice $p=-\frac{2120}{2\cdot(-0{,}014)}=\frac{2120}{0{,}028}=\frac{530\,000}{7}\approx 75\,714{,}29.$ A quel prezzo si vendono $q=1700-0{,}014\cdot75\,714\approx 640$ vetture, per un guadagno di circa $45\,714\cdot640\approx 29{,}3$ milioni di euro. $\boxed{p\approx 75\,714\ \text{€ a vettura.}}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Funzione lineare · Massimo · Parabola
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione