Sezione aurea di un segmento

Testo

La sezione aurea di un segmento $AB$ è il segmento $AC$ tale che $AB:AC=AC:CB$, dove $CB$ è ciò che resta togliendo $AC$ da $AB$. Determina la sezione aurea di un segmento $AB$ lungo $4$, risolvendo un’opportuna equazione.

Soluzione

Poniamo $AC=x$, così $CB=4-x$. La proporzione $AB:AC=AC:CB$ diventa $\frac{4}{x}=\frac{x}{4-x}\ \Longrightarrow\ x^2=4(4-x)\ \Longrightarrow\ x^2+4x-16=0.$ Risolvo: $x=\frac{-4+\sqrt{16+64}}{2}=\frac{-4+\sqrt{80}}{2}=\frac{-4+4\sqrt5}{2}=2\sqrt5-2.$ (si scarta la radice negativa, priva di senso geometrico). Numericamente $\boxed{AC=2\sqrt5-2\approx2{,}472.}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Proporzione · Sezione aurea
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione