Problema svolto — la bisettrice del triangolo isoscele

Testo

In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana. Dimostralo, seguendo le quattro mosse.

Soluzione

Capire. Triangolo $ABC$ con $AB\cong AC$; bisettrice $AM$ dell’angolo $\widehat{A}$, $M\in BC$. Tesi doppia: $AM\perp BC$ e $BM\cong MC$ (vedi capire il problema di geometria).

Cercare una strada. Ragionando all’indietro, basta dimostrare che i due triangoli $ABM$ e $ACM$ sono congruenti: da lì seguono entrambe le tesi (vedi cercare la strada).

Svolgere. Nei triangoli $ABM$ e $ACM$: $AB\cong AC$ (ipotesi), $\widehat{BAM}\cong\widehat{CAM}$ (bisettrice), $AM$ in comune. Per il I criterio (lato–angolo–lato) $\triangle ABM\cong\triangle ACM$. Ne segue $BM\cong CM$ (quindi $AM$ mediana) e $\widehat{AMB}\cong\widehat{AMC}$; essendo supplementari, valgono $\tfrac{\pi}{2}$ ciascuno (quindi $AM$ altezza). $\blacksquare$

Rileggere. L’ipotesi “isoscele” è essenziale: in un triangolo scaleno la bisettrice non cade, in generale, nel punto medio del lato opposto (vedi rileggere la dimostrazione).

Collegamenti

Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Ragionamento all indietro · Risoluzione problemi
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione