Problema — Complementari di angoli acuti disuguali

Testo

Dimostrare che se due angoli acuti sono disuguali, allora i loro complementari sono disuguali in senso opposto: al maggiore dei due angoli corrisponde il minore dei complementari.

Soluzione

Siano $\alpha$ e $\beta$ due angoli acuti con $\alpha > \beta$. I loro complementari sono $\alpha' = 90^\circ - \alpha, \qquad \beta' = 90^\circ - \beta,$ ed essendo $\alpha,\beta$ acuti entrambi i complementari sono angoli positivi.

Dalla disuguaglianza $\alpha > \beta$, cambiando segno, segue $-\alpha < -\beta$; aggiungendo $90^\circ$ a entrambi i membri si ottiene $90^\circ - \alpha < 90^\circ - \beta, \qquad \text{cioè} \qquad \alpha' < \beta'.$

Dunque all’angolo maggiore $\alpha$ corrisponde il complementare minore $\alpha'$: i complementari sono disuguali in senso opposto. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli complementari · Angolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione