Problema — Luogo degli estremi di segmenti congruenti e paralleli da una retta

Testo

È data una retta $m$. Da ogni punto di $m$ si traccia un segmento di lunghezza fissata $\ell$, in modo che tutti questi segmenti siano fra loro paralleli, congruenti e con lo stesso verso. Determina il luogo descritto dagli estremi liberi di tali segmenti e dimostralo.

(figura originale: retta $m$ e i segmenti congruenti e paralleli, con gli estremi liberi evidenziati)

Soluzione

Per ogni punto $X$ di $m$ indichiamo con $X'$ l’estremo libero del segmento $XX'$; per ipotesi tutti i segmenti $XX'$ hanno la stessa lunghezza $\ell$, la stessa direzione e lo stesso verso. Fissiamo un punto $X_0$ di $m$ con il suo estremo $X_0'$. Affermiamo che il luogo cercato è la retta $m'$ passante per $X_0'$ e parallela ad $m$.

Ogni estremo $X'$ sta su $m'$. Sia $X$ un altro punto di $m$. I segmenti $XX'$ e $X_0X_0'$ sono congruenti, paralleli e con lo stesso verso: quindi il quadrilatero $X X' X_0' X_0$ ha la coppia di lati $XX'$ e $X_0X_0'$ paralleli e congruenti, ed è perciò un parallelogramma. Ne segue che $X'X_0' \parallel X X_0$; ma $XX_0$ giace su $m$, quindi $X'X_0' \parallel m$: il punto $X'$ appartiene alla retta per $X_0'$ parallela ad $m$, cioè $m'$.

Ogni punto di $m'$ è un estremo. Sia $Y$ un punto qualunque di $m'$. Costruiamo il punto $X$ quarto vertice del parallelogramma $X_0\,X_0'\,Y\,X$, cioè tale che $\overrightarrow{X_0X} = \overrightarrow{X_0'Y}$. Allora $X_0X \parallel X_0'Y$ e $X_0X \cong X_0'Y$; poiché $X_0'Y$ giace su $m'$, la retta $X_0X$ è parallela ad $m'$ e passa per $X_0 \in m$, dunque coincide con $m$: perciò $X \in m$. Inoltre, per costruzione, i lati $XY$ e $X_0X_0'$ del parallelogramma sono paralleli, congruenti e con lo stesso verso, cioè $XY$ è il segmento fissato tracciato a partire da $X$. Dunque $Y = X'$ è l’estremo del segmento uscente da $X \in m$, e appartiene al luogo.

Il luogo cercato è quindi la retta $m'$ parallela ad $m$ (spostata di $\ell$ nella direzione e nel verso dei segmenti). $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Luogo geometrico
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Luogo geometrico