Problema — Luogo del vertice di un triangolo con base e altezza fissate

Testo

È dato un segmento fisso $UV$. Considera tutti i triangoli $UVW$ aventi $UV$ come base e altezza (relativa a tale base) di misura fissata $h$. Determina il luogo descritto dal vertice $W$ e dimostralo.

(figura originale: segmento $UV$ e le due rette parallele a distanza $h$ da esso)

Soluzione

L’altezza del triangolo $UVW$ relativa alla base $UV$ è la distanza del vertice $W$ dalla retta che contiene $UV$; chiamiamo $r$ tale retta. La condizione “altezza $= h$” equivale dunque a: $W$ dista $h$ dalla retta $r$.

Il luogo dei punti che distano $h$ da una retta $r$ è costituito dalle due rette parallele ad $r$ a distanza $h$, una da ciascuna parte di $r$; chiamiamole $a$ e $b$.

Ogni vertice $W$ ammissibile sta su $a$ o su $b$. Se $UVW$ è uno dei triangoli considerati, la sua altezza vale $h$, cioè $W$ dista $h$ da $r$: quindi $W \in a \cup b$.

Ogni punto di $a\cup b$ è un vertice ammissibile. Se $W \in a\cup b$, allora $W$ dista $h$ da $r$ e, poiché $a$ e $b$ sono parallele e distinte da $r$, il punto $W$ non appartiene ad $r$: i tre punti $U$, $V$, $W$ non sono allineati e formano un triangolo $UVW$ di base $UV$ e altezza $h$.

Il luogo del vertice $W$ è quindi costituito dalle due rette parallele alla retta $UV$, poste a distanza $h$ da essa, una per ciascun semipiano. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Base · Luogo geometrico · Triangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Luogo geometrico