Problema — Angoli supplementari consecutivi sono adiacenti

Testo

Siano $\widehat{POQ}$ e $\widehat{QOR}$ due angoli consecutivi, cioè con il vertice $O$ e il lato $OQ$ in comune, situati da parti opposte rispetto a $OQ$. Sapendo che essi sono supplementari, dimostrare che sono adiacenti, cioè che i lati $OP$ e $OR$ sono semirette opposte.

Soluzione

Per ipotesi $\widehat{POQ} + \widehat{QOR} = 180^\circ$.

Indichiamo con $OP'$ la semiretta opposta a $OP$. Le semirette $OP$ e $OP'$ formano un angolo piatto, quindi gli angoli $\widehat{POQ}$ e $\widehat{QOP'}$ sono supplementari: $\widehat{QOP'} = 180^\circ - \widehat{POQ}.$

D’altra parte, dall’ipotesi, $\widehat{QOR} = 180^\circ - \widehat{POQ}.$

Dunque $\widehat{QOR} \cong \widehat{QOP'}$. Le semirette $OR$ e $OP'$ giacciono entrambe dalla stessa parte rispetto a $OQ$ (la parte opposta a $OP$) e formano con $OQ$ angoli congruenti: per l’unicità dell’angolo di data ampiezza da una parte fissata, esse coincidono, cioè $OR \equiv OP'$.

Quindi $OR$ è la semiretta opposta di $OP$: i due angoli sono adiacenti. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli supplementari · Angolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione