Problema — Le diagonali del trapezio isoscele sono congruenti

Testo

Sia $EFGH$ un trapezio isoscele di basi $EF$ e $HG$ (con $EF \parallel HG$) e lati obliqui congruenti $EH \cong FG$. Dimostra che le sue diagonali sono congruenti, cioè $EG \cong FH$.

(figura originale: trapezio isoscele $EFGH$ con le due diagonali)

Soluzione

Angoli alla base. Conduciamo da $H$ la parallela al lato obliquo $FG$; essa incontra la base maggiore $EF$ in un punto $K$. Il quadrilatero $KFGH$ ha $KF \parallel HG$ e $HK \parallel FG$, quindi è un parallelogramma e $HK \cong FG$. Ma $FG \cong EH$ per ipotesi, dunque $HK \cong EH$: il triangolo $EHK$ è isoscele e perciò $\widehat{HEK} \cong \widehat{HKE}.$ Inoltre $\widehat{HKE} \cong \widehat{GFE}$ perché angoli corrispondenti delle rette parallele $HK$ e $FG$ tagliate dalla trasversale $EF$. Quindi gli angoli alla base maggiore sono congruenti: $\widehat{HEF} \cong \widehat{GFE}.$ Congruenza delle diagonali. Confrontiamo i triangoli $HEF$ e $GFE$:

• $EF$ è in comune;
• $EH \cong FG$ (ipotesi);
• $\widehat{HEF} \cong \widehat{GFE}$ (angoli alla base, appena dimostrato).

Per il primo criterio di congruenza (lato-angolo-lato) $HEF \cong GFE$, quindi i lati corrispondenti $HF$ e $GE$ sono congruenti. Cioè le diagonali $FH \cong EG$. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Diagonale · Trapezio · Trapezio isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione