Problema — Nel trapezio la differenza delle basi è minore della somma dei lati obliqui

Testo

Sia $PQRS$ un trapezio di basi $PQ$ e $SR$, con $PQ \parallel SR$ e $PQ > SR$; i lati obliqui sono $SP$ e $QR$. Dimostra che la differenza delle basi è minore della somma dei lati obliqui, cioè $PQ - SR < SP + QR.$

(figura originale: trapezio $PQRS$ con la parallela al lato obliquo $SP$ condotta da $R$)

Soluzione

Percorrendo il contorno, i vertici sono $P$ e $Q$ sulla base maggiore e $R$, $S$ sulla base minore, con $SR \parallel PQ$. Conduciamo da $R$ la parallela al lato obliquo $SP$; essa incontra la base $PQ$ in un punto $T$. Il quadrilatero $SPTR$ ha $SR \parallel PT$ (giacciono sulle due basi) e $SP \parallel RT$ (per costruzione), quindi è un parallelogramma. Perciò $PT \cong SR,\qquad RT \cong SP.$ Poiché $PT \cong SR < PQ$, il punto $T$ cade internamente al segmento $PQ$, e dunque $TQ = PQ - PT = PQ - SR.$ Consideriamo il triangolo $TQR$ (non degenere, perché $R$ non appartiene alla retta $PQ$). Per la disuguaglianza triangolare un lato è minore della somma degli altri due: $TQ < QR + RT.$ Sostituendo $TQ = PQ - SR$ e $RT \cong SP$ si ottiene $PQ - SR < QR + SP.$ $\boxed{\,PQ - SR < SP + QR\,}$ $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Base · Trapezio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione