Problema — Angolo tra due altezze di un triangolo acutangolo

Testo

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo. Traccia l’altezza relativa al lato $BC$ (con piede $D$) e l’altezza relativa al lato $AC$ (con piede $E$); esse si incontrano nel punto $H$. Dimostra che l’angolo $\widehat{AHB}$ formato dalle due altezze è il supplementare del terzo angolo $\widehat{ACB}$. Ricava poi il valore di $\widehat{AHB}$ quando $\widehat{ACB} = 70^\circ$.

Soluzione

Dimostrazione. Sia $\gamma = \widehat{ACB}$. Le due altezze considerate hanno piedi $D$ su $BC$ e $E$ su $AC$; per costruzione $\widehat{HDC} = 90^\circ \quad\text{(perché } AD \perp BC\text{)}, \qquad \widehat{HEC} = 90^\circ \quad\text{(perché } BE \perp AC\text{)}.$ Consideriamo il quadrilatero $CDHE$, i cui vertici sono $C$, il piede $D$, l’ortocentro $H$ e il piede $E$. La somma dei suoi angoli interni vale $360^\circ$: $\widehat{DCE} + \widehat{CDH} + \widehat{DHE} + \widehat{HEC} = 360^\circ.$ Poiché $\widehat{DCE} = \gamma$ (è l’angolo $\widehat{ACB}$) e $\widehat{CDH} = \widehat{HEC} = 90^\circ$, $\gamma + 90^\circ + \widehat{DHE} + 90^\circ = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad \widehat{DHE} = 180^\circ - \gamma.$ L’angolo $\widehat{AHB}$ è opposto al vertice rispetto a $\widehat{DHE}$ (il lato $HA$ giace sulla retta $HD$ e il lato $HB$ sulla retta $HE$), quindi $\widehat{AHB} = \widehat{DHE} = 180^\circ - \gamma$: l’angolo tra le due altezze è il supplementare di $\widehat{ACB}$. $\;\blacksquare$

Caso numerico. Con $\gamma = 70^\circ$: $\widehat{AHB} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.$ $\boxed{\widehat{AHB} = 110^\circ}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Altezza · Angolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione