Problema — Angolo esterno alla base del triangolo isoscele è ottuso

Testo

Sia $MNP$ un triangolo isoscele di base $MN$ (quindi con $PM \cong PN$). Prolunga la base $MN$ oltre il vertice $M$ fino a un punto $S$. Dimostra che l’angolo esterno $\widehat{PMS}$, adiacente all’angolo alla base $\widehat{PMN}$, è sempre ottuso.

Soluzione

Indichiamo con $\varphi$ l’ampiezza dell’angolo al vertice $\widehat{MPN}$ e con $\beta$ l’ampiezza di ciascuno degli angoli alla base. Poiché il triangolo è isoscele di base $MN$, gli angoli alla base sono congruenti: $\widehat{PMN} \cong \widehat{PNM} = \beta$.

Dalla somma degli angoli interni del triangolo, $2\beta + \varphi = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \beta = 90^\circ - \frac{\varphi}{2}.$ Poiché il triangolo è non degenere, l’angolo al vertice soddisfa $\varphi > 0^\circ$, quindi $\beta = 90^\circ - \dfrac{\varphi}{2} < 90^\circ$: ogni angolo alla base è acuto.

L’angolo esterno $\widehat{PMS}$ è adiacente all’angolo alla base $\widehat{PMN}$, dunque $\widehat{PMS} = 180^\circ - \beta = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\varphi}{2}\right) = 90^\circ + \frac{\varphi}{2}.$ Essendo $\varphi > 0^\circ$, si ha $\widehat{PMS} = 90^\circ + \dfrac{\varphi}{2} > 90^\circ$: l’angolo esterno alla base è quindi sempre ottuso. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Angolo esterno · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione