Problema — Congruenza di triangoli isosceli con angolo al vertice

Testo

Dimostrare che due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti l’angolo al vertice e un lato. Discutere il caso a seconda che il lato congruente sia un lato obliquo oppure la base.

Soluzione

Siano $ABC$ (con $AB \cong AC$, vertice $A$) e $A'B'C'$ (con $A'B' \cong A'C'$, vertice $A'$) due triangoli isosceli con angoli al vertice congruenti: $\widehat{A} \cong \widehat{A'}.$ Il “lato congruente” può essere di due tipi.

Caso 1: il lato congruente è un lato obliquo. Supponiamo $AB \cong A'B'$. Poiché i triangoli sono isosceli, anche gli altri lati obliqui sono congruenti a questi: $AC \cong AB \cong A'B' \cong A'C'.$ I due triangoli hanno allora due lati congruenti ($AB \cong A'B'$, $AC \cong A'C'$) e l’angolo compreso congruente ($\widehat{A} \cong \widehat{A'}$). Per il primo criterio (SAS), $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.$

Caso 2: il lato congruente è la base. Supponiamo $BC \cong B'C'$. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti e valgono $\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}, \qquad \widehat{B'} = \widehat{C'} = \frac{180^\circ - \widehat{A'}}{2}.$ Essendo $\widehat{A} \cong \widehat{A'}$, si ha $\widehat{B} \cong \widehat{B'}$ e $\widehat{C} \cong \widehat{C'}$. I due triangoli hanno quindi la base congruente e i due angoli ad essa adiacenti congruenti: per il secondo criterio (ASA), $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.$

In entrambi i casi i triangoli sono congruenti: l’unico lato congruente, sia esso un lato obliquo o la base, è sufficiente insieme all’angolo al vertice. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Criteri congruenza · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione