Problema — Punti equidistanti sui lati di un triangolo equilatero

Testo

Sia $PQR$ un triangolo equilatero. Sui lati si prendono, procedendo nello stesso verso, i punti $D \in PQ$, $E \in QR$ e $F \in RP$ tali che $PD \cong QE \cong RF$. Dimostrare che il triangolo $DEF$ è equilatero.

Soluzione

Poiché $PQR$ è equilatero, i suoi lati sono congruenti e i suoi angoli misurano tutti $60^\circ$: $PQ \cong QR \cong RP, \qquad \widehat{P} \cong \widehat{Q} \cong \widehat{R} = 60^\circ.$

Per ipotesi $PD \cong QE \cong RF$. Sottraendo questi segmenti congruenti da lati congruenti si ottengono i segmenti rimanenti congruenti: $DQ = PQ - PD, \quad ER = QR - QE, \quad FP = RP - RF \;\Rightarrow\; DQ \cong ER \cong FP.$

Confrontiamo i triangoli $DQE$, $ERF$ e $FPD$:

• $DQ \cong ER \cong FP$ (appena mostrato);
• $QE \cong RF \cong PD$ (per ipotesi);
• gli angoli compresi $\widehat{Q} \cong \widehat{R} \cong \widehat{P}$ sono congruenti (valgono $60^\circ$).

Per il primo criterio di congruenza (SAS) i tre triangoli sono congruenti, quindi hanno congruenti i terzi lati: $DE \cong EF \cong FD.$

Il triangolo $DEF$ ha i tre lati congruenti: è equilatero. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Criteri congruenza · Segmento · Triangolo equilatero
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione