Dimostrazioni con il parallelismo

Il parallelismo, combinato con i criteri di congruenza, è uno strumento potentissimo. Vediamo una dimostrazione classica affrontata con il ragionamento all’indietro (Backward Thinking): si parte dalla tesi e si risale verso le ipotesi.

Esempio — Backward Thinking

$M$ è il punto medio di $PQ$. Una retta $r$ diversa da $PQ$ passa per $M$. Su $r$ si prendono $S$ e $T$ da parti opposte di $M$ con $MS\cong MT$. Dimostrare che $PT \parallel QS$.

La configurazione: $M$ punto medio di $PQ$, e $S,T$ simmetrici rispetto a $M$ su una retta per $M$.

Il metodo Backward Thinking si visualizza con un diagramma a catena che parte dalla tesi e risale verso le ipotesi:

Il diagramma a catena del ragionamento all’indietro: dalla tesi (in alto) si scende fino alle ipotesi (in basso).

Letto dal basso verso l’alto, il diagramma diventa la dimostrazione:

Dimostrazione

1. Ipotesi. $PM \cong QM$ (punto medio), $SM \cong TM$ (ipotesi), $\widehat{PMS}\cong\widehat{QMT}$ (opposti al vertice).
2. Deduco. Per il I criterio: $\triangle PMT\cong\triangle QMS$.
3. Deduco. Dunque $\widehat{TPM}\cong\widehat{SQM}$ (elementi corrispondenti).
4. Deduco. Per il teorema degli alterni interni: $PT \parallel QS$.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Criteri congruenza · Dimostrazione · Parallelismo · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica