L'asse come luogo geometrico

Dimostriamo una delle due implicazioni che caratterizzano l’asse come luogo geometrico: ogni punto equidistante dagli estremi appartiene all’asse.

Dimostrazione — Asse come luogo geometrico

Dimostriamo che se un punto $C$ è equidistante dagli estremi $A$ e $B$ di un segmento, allora $C$ appartiene all’asse di $AB$.

1. Ipotesi. $CA\cong CB$.
2. Costruzione. Sia $M$ il punto medio di $AB$. Congiungiamo $C$ con $M$.
3. Osservo. I triangoli $CMA$ e $CMB$ hanno: $CA\cong CB$ (ipotesi), $AM\cong MB$ (costruzione), $CM$ in comune.
4. Deduco. Per il III criterio (SSS): $\triangle CMA\cong\triangle CMB$.
5. Deduco. Dunque $\widehat{CMA}\cong\widehat{CMB}$. Ma sono anche supplementari ($\widehat{CMA}+\widehat{CMB}=\pi$), quindi $\widehat{CMA}=\widehat{CMB}=\dfrac{\pi}{2}$.
6. Deduco. Segue $CM\perp AB$ nel punto medio $M$: cioè $C$ sta sull’asse di $AB$.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Asse del segmento · Criteri congruenza · Dimostrazione · Luogo geometrico
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica