L'unica terna di primi dispari consecutivi

Testo

Chiamiamo terna di primi tre numeri dispari consecutivi $n,\ n+2,\ n+4$ che siano tutti e tre primi. Dimostra che l’unica terna possibile è $3,5,7$.

Soluzione

Guardiamo i tre numeri modulo $3$. Poiché $4\equiv 1 \pmod 3$, si ha $n,\quad n+2,\quad n+4 \equiv n,\ n+2,\ n+1 \pmod 3.$ Questi sono tre residui consecutivi, quindi coprono tutte le classi $0,1,2$: esattamente uno dei tre numeri è divisibile per $3$. Un numero primo divisibile per $3$ può solo essere $3$ stesso. Il più piccolo dei tre è $n$:

• se $n=3$ otteniamo la terna $3,5,7$, e $3,5,7$ sono tutti primi;
• se il multiplo di $3$ fosse $n+2=3$, allora $n=1$, che non è primo;
• se fosse $n+4=3$, sarebbe $n<0$, impossibile.

Dunque l’unica terna di primi dispari consecutivi è $\boxed{3,\,5,\,7}$.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Divisibilita · Numero primo
Metodi: Aritmetica modulare
Competenze: Dimostrare · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione