Che cos'è un'equazione differenziale

La novità rispetto a tutte le equazioni viste finora è che l’incognita non è un numero, ma una funzione $y(x)$: nell’equazione compare $y$ insieme alle sue derivate. Vediamo la definizione e il motivo per cui questi oggetti sono così importanti in fisica e nelle scienze.

• Definizione di equazione differenziale
• Perché le equazioni differenziali sono importanti

The novelty compared with all the equations seen so far is that the unknown is not a number, but a function $y(x)$: in the equation $y$ appears together with its derivatives. Let us look at the definition and the reason why these objects are so important in physics and the sciences.

• Definition of a differential equation
• Why differential equations are important

Definizione — Equazione differenziale

Un’equazione differenziale (ODE) è un’equazione in cui l’incognita è una funzione $y(x)$ e nell’equazione compare $y$ assieme alla sua derivata $y'$ (e magari $y''$, $y'''$, ecc.).

L’ordine dell’equazione è quello della derivata più alta che vi compare: $y' = ky$ è del primo ordine, $y'' + \omega^2 y = 0$ è del secondo ordine. Risolvere un’equazione differenziale significa trovare tutte le funzioni che la soddisfano.

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Concetti: Equazione differenziale · Ordine

Definition — Differential equation

A differential equation (ODE) is an equation whose unknown is a function $y(x)$ and in which $y$ appears together with its derivative $y'$ (and perhaps $y''$, $y'''$, etc.).

The order of the equation is that of the highest derivative appearing in it: $y' = ky$ is of the first order, $y'' + \omega^2 y = 0$ is of the second order. Solving a differential equation means finding all the functions that satisfy it.

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Osservazione — Perché sono importanti

L’incognita non è una quantità, ma una funzione: è la funzione che descrive come si raffredda un bicchiere di caffè, come decade una sostanza radioattiva, come oscilla una molla.

Ogni volta che una grandezza fisica cambia nel tempo con una velocità che dipende dal suo valore attuale, l’equazione che la descrive è un’equazione differenziale. È questo il linguaggio con cui la fisica formula le sue leggi: la seconda legge di Newton, il decadimento radioattivo, il raffreddamento, gli oscillatori, i circuiti elettrici sono tutte equazioni differenziali.

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Competenze: Modellizzare

Remark — Why they are important

The unknown is not a quantity, but a function: it is the function that describes how a cup of coffee cools, how a radioactive substance decays, how a spring oscillates.

Every time a physical quantity changes over time at a rate that depends on its current value, the equation describing it is a differential equation. This is the language in which physics formulates its laws: Newton’s second law, radioactive decay, cooling, oscillators, electrical circuits are all differential equations.

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Nel giugno del 1696 Johann Bernoulli lanciò sulla rivista Acta Eruditorum una sfida ai «più acuti matematici del mondo»: date due punti $A$ e $B$ a quote diverse, trovare la curva lungo la quale una pallina, partendo da ferma e scivolando senza attrito sotto l’azione della gravità, raggiunge $B$ nel tempo più breve. È il problema della brachistocrona (dal greco bráchistos, «brevissimo», e chrónos, «tempo»).

La risposta sorprende: non è il segmento rettilineo, che pure è il cammino più corto, bensì un arco di cicloide, la curva descritta da un punto sul bordo di una ruota che rotola. Su un tratto iniziale più ripido la pallina accelera prima, e questo guadagno di velocità compensa la maggiore lunghezza.

Alla sfida risposero i più grandi dell’epoca: Johann e suo fratello Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, il marchese de l’Hôpital e, in forma anonima, Isaac Newton — che, si racconta, risolse il problema in una sola notte; leggendo la soluzione senza firma Johann Bernoulli avrebbe esclamato di «riconoscere il leone dall’artiglio».

Il problema chiedeva di minimizzare non un numero ma un integrale, $T = \int_A^B \sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx,$ cioè una quantità che dipende da tutta la funzione incognita $y(x)$. La sua soluzione diede l’impulso decisivo alla nascita del calcolo delle variazioni, sistemato poi da Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange: la loro equazione di Eulero-Lagrange, che caratterizza la curva ottimale, è essa stessa un’equazione differenziale. Così un enigma sul moto di una pallina si rivelò uno dei primi grandi problemi risolti proprio con le equazioni differenziali (Boyer; Dunham).

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Persone: Jacob Bernoulli · Leonhard Euler (Eulero) · Guillaume de l’Hôpital · Joseph-Louis Lagrange · Gottfried Leibniz · Isaac Newton

In June 1696 Johann Bernoulli issued a challenge in the journal Acta Eruditorum to «the sharpest mathematicians in the world»: given two points $A$ and $B$ at different heights, find the curve along which a bead, starting from rest and sliding without friction under gravity, reaches $B$ in the shortest time. This is the brachistochrone problem (from the Greek bráchistos, «shortest», and chrónos, «time»).

The answer is surprising: it is not the straight segment, which is indeed the shortest path, but an arc of a cycloid, the curve traced by a point on the rim of a rolling wheel. On a steeper initial stretch the bead speeds up sooner, and this gain in velocity outweighs the greater length.

The greatest minds of the age responded: Johann and his brother Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, the Marquis de l’Hôpital and, anonymously, Isaac Newton — who, the story goes, solved the problem in a single night; reading the unsigned solution, Johann Bernoulli is said to have exclaimed that he «recognised the lion by his claw».

The problem asked one to minimise not a number but an integral, $T = \int_A^B \sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx,$ that is, a quantity depending on the whole unknown function $y(x)$. Its solution gave the decisive push to the birth of the calculus of variations, later systematised by Leonhard Euler and Joseph-Louis Lagrange: their Euler–Lagrange equation, which characterises the optimal curve, is itself a differential equation. Thus a riddle about the motion of a bead turned out to be one of the first great problems solved precisely with differential equations (Boyer; Dunham).

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People: Bernoulli · Leibniz · L’Hôpital · Newton · Euler · Lagrange