Teorema di Lagrange su funzione a tratti esponenziale

Testo

Sia $f(x)=\begin{cases}a x+b & -1\le x\le 0\\[2pt] e^{x} & 0<x\le 1\end{cases}\qquad a,b\in\mathbb{R}.$ (a) Determina $a$ e $b$ per cui valgono le ipotesi del teorema di Lagrange su $[-1,1]$ (continuità e derivabilità in $x=0$). (b) Con tali valori applica il teorema di Lagrange su $[-1,1]$: calcola il rapporto incrementale globale e tutti i $c\in(-1,1)$ con $f'(c)$ uguale a esso. Quanti sono?

Soluzione

(a) Condizioni sui parametri. L’unico punto critico è il raccordo $x=0$.

Continuità in $x=0$: limite sinistro $a\cdot 0+b=b$, valore destro $e^0=1$. Quindi $b=1$.

Derivabilità in $x=0$: derivata sinistra $f'=a$, derivata destra $f'=e^x\big|_{0}=1$. Quindi $a=1$.

(b) Applicazione del teorema. Con $a=1$, $b=1$: $f(-1)=1\cdot(-1)+1=0,\qquad f(1)=e^1=e,$ quindi il rapporto incrementale è $\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{e-0}{2}=\frac{e}{2}\approx 1.359.$

In $(-1,0)$: $f'=1\ne\dfrac{e}{2}$, nessun punto $c$.

In $(0,1)$: $f'=e^x=\dfrac{e}{2}\Rightarrow x=\ln\dfrac{e}{2}=1-\ln 2\approx 0.307\in(0,1)$ ✓

Esiste dunque un solo punto: $c=1-\ln 2\approx 0.3069.$

$\boxed{a=1,\qquad b=1,\qquad c=1-\ln 2\approx 0.3069\ (\text{unico})}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Funzione definita a tratti · Teorema di lagrange
Competenze: Dimostrare · Ragionare per casi
Persone: Joseph-Louis Lagrange
Tipo di esercizio: Dimostrazione