Teorema di Lagrange su funzione a tratti con parametri

Testo

Sia $f(x)=\begin{cases}h\,x^3 & 0\le x\le 1\\[2pt] x^2-kx+k & 1<x\le 2\end{cases}$ (a) Determina i valori di $h$ e $k$ per cui valgono le ipotesi del teorema di Lagrange su $[0,2]$. (b) Con tali valori applica il teorema di Lagrange e trova un $c\in(0,2)$.

Soluzione

(a) Condizioni sui parametri. Le ipotesi richiedono continuità su $[0,2]$ e derivabilità su $(0,2)$; l’unico punto critico è il raccordo $x=1$.

Continuità in $x=1$: il limite sinistro vale $h\cdot 1^3=h$, quello destro $1^2-k\cdot 1+k=1$. Quindi $h=1.$

Derivabilità in $x=1$: le derivate dei due rami sono $3h x^2$ e $2x-k$. In $x=1$: $3h=2-k \implies 3=2-k \implies k=-1.$

(b) Applicazione del teorema. Con $h=1$, $k=-1$: $f(0)=0,\qquad f(2)=2^2-(-1)\cdot 2+(-1)=4+2-1=5,$ quindi il rapporto incrementale è $\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}=\dfrac52$.

Ramo sinistro ($f'=3x^2$): $3x^2=\dfrac52 \Rightarrow x=\sqrt{5/6}\approx 0.913\in(0,1)$ ✓

Ramo destro ($f'=2x+1$): $2x+1=\dfrac52 \Rightarrow x=0.75\notin(1,2)$, da scartare.

Dunque $c=\sqrt{\tfrac56}\approx 0.9129.$

$\boxed{h=1,\qquad k=-1,\qquad c=\sqrt{\tfrac56}\approx 0.9129}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Funzione definita a tratti · Teorema di lagrange
Competenze: Dimostrare · Ragionare per casi
Persone: Joseph-Louis Lagrange
Tipo di esercizio: Dimostrazione