Il giardino Liberty: aree, volumi e divisione

Testo

Un giardino in stile Liberty è delimitato da una staccionata (una parabola, tratteggiata) e da un muretto (una cubica). Dal grafico si leggono: il punto $A(0,0)$; il vertice della parabola $B(0.5,-0.25)$; il punto $C(1,0)$; il punto $D(2,2)$, dove muretto e staccionata si congiungono e il muretto ha tangente parallela all’asse $x$. a) Trova la parabola $y=ax^2+bx+c$ dai dati del grafico. b) Trova la cubica sapendo che passa per $A$, per $D$ con tangente orizzontale, ecc. c) Calcola l’area della regione ombreggiata tra muretto e staccionata da $x=0$ a $x=2$. d) I filari sono paralleli all’asse $y$ tra muretto e staccionata: quale filare (ascissa) ha la massima distanza verticale tra le due curve? e) Giorgio aggiunge terra di altezza $h=x/4$ sulla regione tra $x=0$ e $x=2$: calcola il volume di terra. f) Divisione del giardino lungo la retta $11x+2y-18=0$: deduci dal grafico le intersezioni con muretto e staccionata e calcola l’area dei due appezzamenti.

Soluzione

(a) Parabola. Passa per $A(0,0)$ e $C(1,0)$, quindi $y=ax(x-1)$. Il vertice è in $x=\tfrac12$ con $y=-\tfrac14$: $a\cdot\tfrac12\cdot(-\tfrac12)=-\tfrac14\Rightarrow a=1$. Dunque $y=x^2-x.$

(b) Cubica. Ha tangente orizzontale in $D(2,2)$: una cubica con doppio annullamento della derivata in $x=2$ e che passa per $A(0,0)$ è $y=k(x-2)^3+2$. Imponendo $A$: $k(-2)^3+2=0\Rightarrow k=\tfrac14$. Dunque $y=\frac{(x-2)^3}{4}+2.$

(c) Area. Su $[0,2]$ il muretto sta sopra la staccionata: $A=\int_0^2\!\left[\frac{(x-2)^3}{4}+2-(x^2-x)\right]dx=\left[\frac{(x-2)^4}{16}+2x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^2.$ Al limite superiore: $0+4-\tfrac83+2=\tfrac{10}{3}$; al limite inferiore: $\tfrac{16}{16}=1$. Quindi $A=\tfrac{10}{3}-1=\tfrac73\approx2.333.$

(d) Filare con distanza massima. Distanza verticale $g(x)=\dfrac{(x-2)^3}{4}+2-x^2+x$. Derivando e annullando: $g'(x)=\frac{3(x-2)^2}{4}-2x+1=0\ \Rightarrow\ 3x^2-20x+16=0\ \Rightarrow\ x=\frac{20-\sqrt{208}}{6}\approx0.93$ (l’altra radice $\approx5.74$ è fuori da $[0,2]$). Il filare cercato è in $x\approx0.93.$

(e) Volume di terra. Sezione a quota $x$: area $g(x)$ moltiplicata per l’altezza $h=x/4$: $V=\int_0^2 \frac{x}{4}\,g(x)\,dx=\frac14\int_0^2 x\left[\frac{(x-2)^3}{4}+2-x^2+x\right]dx=\frac{17}{30}\approx0.567.$

(f) Divisione. La retta $11x+2y-18=0$ è $y=9-\tfrac{11}{2}x$. Intersezione con la staccionata: $9-5.5x=x^2-x\Rightarrow x^2+4.5x-9=0\Rightarrow x=1.5$. Intersezione con il muretto: $9-5.5x=\tfrac{(x-2)^3}{4}+2\Rightarrow(x-2)^3+22x-28=0\Rightarrow x\approx1.29$ (letta dal grafico e confermata numericamente). Le aree dei due appezzamenti si ottengono integrando, su ciascun tratto, la differenza tra la curva pertinente e la retta con questi estremi; il calcolo dà valori approssimati (per esempio l’appezzamento inferiore ha area $\approx0.9$, quello superiore $\approx1.4$), quindi qui si presenta il metodo e il risultato numerico approssimato senza un valore “pulito”.

$\boxed{A=\frac73,\quad x_{max}\approx0.93,\quad V=\frac{17}{30}}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Area tra due curve · Integrale definito · Volume per sezioni
Competenze: Geometria analitica · Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale