Volume della semisfera per rotazione (due metodi)

Testo

Dimostra che il volume della semisfera di raggio $R$ vale $\tfrac23\pi R^3$: (a) come solido di rotazione attorno all’asse $x$ della curva $y=\sqrt{R^2-x^2}$ su $[0,R]$; (b) come solido di rotazione attorno all’asse $y$ della stessa curva.

Soluzione

(a) Rotazione attorno all’asse $x$ (dischi in $x$). Il raggio del disco alla quota $x$ è $y=\sqrt{R^2-x^2}$, quindi $y^2=R^2-x^2$: $V=\pi\int_0^R (R^2-x^2)\,dx=\pi\left[R^2 x-\frac{x^3}{3}\right]_0^R=\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)=\frac23\pi R^3.$

(b) Rotazione attorno all’asse $y$ (dischi in $y$). Per simmetria la stessa curva, ruotata attorno all’asse $y$, genera dischi di raggio $x$ con $x^2=R^2-y^2$: $V=\pi\int_0^R (R^2-y^2)\,dy=\pi\left[R^2 y-\frac{y^3}{3}\right]_0^R=\frac23\pi R^3.$ I due metodi coincidono.

$\boxed{V=\frac23\pi R^3}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume di rotazione
Competenze: Dimostrare · Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale