Volume del cono per rotazione (due metodi)

Testo

Dimostra la formula del volume del cono di raggio di base $R$ e altezza $H$: (a) come solido di rotazione attorno all’asse $x$ della retta $y=-\tfrac{R}{H}(x-H)$ (che vale $R$ in $x=0$ e $0$ in $x=H$); (b) come solido di rotazione attorno all’asse $y$ della retta $y=-\tfrac{H}{R}(x-R)$.

Soluzione

(a) Rotazione attorno all’asse $x$ (dischi in $x$). Il raggio del disco alla quota $x$ è $y=\tfrac{R}{H}(H-x)$, quindi $V=\pi\int_0^H y^2\,dx=\pi\frac{R^2}{H^2}\int_0^H(H-x)^2\,dx=\pi\frac{R^2}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3}=\frac13\pi R^2 H.$

(b) Rotazione attorno all’asse $y$ (dischi in $y$). La retta $y=-\tfrac{H}{R}(x-R)$ dà $x=R\left(1-\tfrac{y}{H}\right)$, che è il raggio del disco alla quota $y$: $V=\pi\int_0^H x^2\,dy=\pi R^2\int_0^H\left(1-\frac{y}{H}\right)^2 dy=\pi R^2\cdot\frac{H}{3}=\frac13\pi R^2 H.$ I due metodi danno lo stesso risultato.

$\boxed{V=\frac13\pi R^2 H}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume di rotazione
Competenze: Dimostrare · Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale