Centro di massa del cono

L’integrale non serve solo per aree e volumi: permette anche di calcolare il centro di massa di un solido, con la formula $z_{CM} = \dfrac{\int z\,dm}{\int dm}$, dove $dm = \rho\,dV$.

Per un cono omogeneo (densità $\rho$ costante, che si semplifica), affettato in dischi di raggio $r(z)$: $z_{CM} = \frac{\int_0^H z\cdot\pi r^2(z)\,dz}{\int_0^H \pi r^2(z)\,dz} = \frac{\int_0^H z(H-z)^2\,dz}{\int_0^H(H-z)^2\,dz}.$

Sviluppando il numeratore $z(H-z)^2 = zH^2 - 2H z^2 + z^3$ e integrando termine per termine, si trova $z_{CM} = \frac{H}{4}.$ Il baricentro di un cono omogeneo si trova quindi a un quarto dell’altezza a partire dalla base.

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Argomenti: Integrale
Concetti: Centro di massa · Integrale definito
Competenze: Integrare · Modellizzare