Volume del cono

Consideriamo un cono di raggio di base $R$ e altezza $H$. A quota $z$ il raggio della sezione, per proporzione, vale $r(z) = R(H-z)/H$. Il disco elementare ha volume $dV = \pi r^2\,dz$.

Sommando i dischi da $z=0$ a $z=H$: $V = \frac{\pi R^2}{H^2}\int_0^H(H-z)^2\,dz = \frac{\pi R^2}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}\pi R^2 H}.$

Il fattore $\tfrac13$ è lo stesso che compare nella piramide: entrambe hanno sezioni che si rimpiccioliscono linearmente verso il vertice.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume per sezioni
Competenze: Calcolare · Integrare