Studio di 4+2x+√(x²−x−6)

Testo

Data la funzione $f(x) = 4 + 2x + \sqrt{x^2 - x - 6}$:

• determina il dominio;
• studia il segno;
• calcola i limiti ai bordi del dominio;
• trova eventuali asintoti obliqui;
• determina i punti di massimo/minimo relativi (mostrando che uno si trova in $x \approx -2{,}39$).

Soluzione

Dominio. Serve $x^2 - x - 6 \ge 0$, cioè $(x-3)(x+2) \ge 0 \Rightarrow x \le -2 \ \lor\ x \ge 3$.

Valori ai bordi. $f(-2) = 4 - 4 + 0 = 0$ e $f(3) = 4 + 6 + 0 = 10$.

Segno. Sul dominio si ha sempre $f(x) \ge 0$: per $x \ge 3$ tutti i termini sono positivi; per $x \le -2$ si verifica che $4 + 2x + \sqrt{x^2 - x - 6} \ge 0$ (l’uguaglianza solo in $x=-2$).

Asintoti obliqui. Per $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2 - x - 6} \sim x - \tfrac12$, quindi $f \sim 3x + \tfrac72$: asintoto $y = 3x + \tfrac72$. Per $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2 - x - 6} = |x|\sqrt{1 - \tfrac1x - \tfrac{6}{x^2}} \sim -x + \tfrac12$, quindi $f \sim x + \tfrac92$: asintoto $y = x + \tfrac92$.

Estremi. $f'(x) = 2 + \dfrac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 6}}$. Ponendo $f'(x) = 0$ sul ramo $x \le -2$: $4\sqrt{x^2 - x - 6} = -(2x - 1) \ \Rightarrow\ 16(x^2 - x - 6) = (2x-1)^2 \ \Rightarrow\ 12x^2 - 12x - 97 = 0,$ da cui $x = \dfrac{12 \pm \sqrt{144 + 4656}}{24}$, cioè $x \approx -2{,}387$ (accettabile, $\le -2$) e $x \approx 3{,}39$ (da scartare, non annulla la derivata sul ramo $x \ge 3$). Il punto di estremo relativo è quindi $\approx (-2{,}39,\ f(-2{,}39))$. $\boxed{\text{Dominio } x \le -2 \lor x \ge 3;\quad y = x + \tfrac92 \ (x\to-\infty),\ y = 3x + \tfrac72 \ (x\to+\infty);\quad x_e \approx -2{,}387}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Asintoto · Dominio · Massimo relativo · Segno · Studio di funzione
Funzioni: Funzione irrazionale
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione