Recinto di area massima contro un muro

Testo

Un contadino dispone di $60\ \text{m}$ di rete per recintare un’area rettangolare addossata a un muro (il muro fa da quarto lato e non richiede rete). Determina le dimensioni che rendono massima l’area e il valore di tale area.

Soluzione

Siano $x$ i due lati perpendicolari al muro e $60-2x$ il lato parallelo. L’area è $A(x)=x(60-2x)=60x-2x^2.$ $A'(x)=60-4x=0\Rightarrow x=15\ \text{m}$; poiché $A''(x)=-4<0$, è un massimo.

Il lato parallelo misura $60-30=30\ \text{m}$ e l’area massima è $A(15)=15\cdot 30=450\ \text{m}^2$.

$\boxed{x=15\ \text{m},\ \text{lato }30\ \text{m},\ A_{\max}=450\ \text{m}^2}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Derivata · Massimi e minimi · Ottimizzazione
Competenze: Modellizzare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione