Studio di x·e^(−x²/2)

Testo

Studia la funzione $y = x\,e^{-x^2/(2a)}$ (con $a > 0$ parametro):

• (a) calcola la derivata (con $a$ parametro), poi poni $a = 1$;
• (b) studia il segno;
• (c) determina massimi e minimi relativi, discutendo anche massimi/minimi assoluti ed estremo superiore/inferiore;
• (d) traccia il grafico.

Soluzione

(a) Derivata. In generale $y' = e^{-x^2/(2a)}\left(1 - \frac{x^2}{a}\right).$ Con $a = 1$: $\ y = x\,e^{-x^2/2}$ e $\ y' = e^{-x^2/2}\,(1 - x^2)$.

(b) Segno. Poiché $e^{-x^2/2} > 0$, il segno di $y$ è quello di $x$: $\ y > 0$ per $x > 0$, $\ y < 0$ per $x < 0$. La funzione è dispari ($y(-x) = -y(x)$).

(c) Estremi. $y' = 0 \iff 1 - x^2 = 0 \iff x = \pm 1$.

• In $x = 1$: massimo relativo, $f(1) = e^{-1/2} = \tfrac{1}{\sqrt e} \approx 0{,}6065$.
• In $x = -1$: minimo relativo, $f(-1) = -\tfrac{1}{\sqrt e} \approx -0{,}6065$. Per $x \to \pm\infty$ si ha $y \to 0$: l’asse $y = 0$ è asintoto orizzontale. Dato l’andamento, il massimo relativo è anche massimo assoluto e il minimo relativo è minimo assoluto; quindi $\sup = \tfrac{1}{\sqrt e}$ (raggiunto) e $\inf = -\tfrac{1}{\sqrt e}$ (raggiunto).

(d) Concavità. $y'' = x(x^2 - 3)\,e^{-x^2/2}$, che si annulla in $x = 0$ e $x = \pm\sqrt 3 \approx \pm 1{,}732$: tre punti di flesso. $\boxed{\text{max } \left(1,\ \tfrac{1}{\sqrt e}\right);\quad \text{min } \left(-1,\ -\tfrac{1}{\sqrt e}\right);\quad \text{flessi in } x = 0,\ \pm\sqrt 3}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Asintoto · Massimo relativo · Parametro · Punto di flesso · Segno · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione