Studio con parametro di x³+2x²−ax

Testo

Sia $f(x) = x^3 + 2x^2 - ax$, con $a$ parametro reale.

• (a) calcola $f'(x)$ lasciando $a$ come parametro;
• (b) per $a = 15$, studia il segno di $f$ e determina le coordinate del massimo e del minimo relativi;
• (c) per quali valori di $a$ la funzione non ha né massimi né minimi relativi?

Soluzione

(a) Derivata. $f'(x) = 3x^2 + 4x - a$.

(b) Caso $a = 15$. La funzione diventa $f(x) = x^3 + 2x^2 - 15x = x(x+5)(x-3),$ con zeri $x = -5,\ 0,\ 3$; segno positivo su $(-5,0)\cup(3,+\infty)$, negativo altrove. La derivata è $f'(x) = 3x^2 + 4x - 15 = 0$, cioè $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6} = \frac{-4 \pm 14}{6} \ \Rightarrow\ x = -3 \ \text{oppure}\ x = \tfrac{5}{3}.$ In $x=-3$ la derivata passa da $+$ a $-$: massimo relativo con $f(-3) = -27 + 18 + 45 = 36$. In $x=\tfrac{5}{3}$ la derivata passa da $-$ a $+$: minimo relativo con $f\!\left(\tfrac{5}{3}\right) = -\tfrac{400}{27} \approx -14{,}81$.

(c) Nessun estremo relativo. Serve che $f'(x) = 3x^2 + 4x - a$ non abbia due radici reali distinte, cioè discriminante $\le 0$: $\Delta = 16 + 12a \le 0 \ \Rightarrow\ a \le -\tfrac{4}{3}.$ $\boxed{\text{max } (-3,\,36);\quad \text{min } \left(\tfrac53,\,-\tfrac{400}{27}\right);\quad \text{nessun estremo per } a \le -\tfrac43}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Parametro · Segno · Studio di funzione
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione