Studio di y = x²·e^(−x)

Testo

Studia $y=x^{2}e^{-x}$: segno, comportamento a $\pm\infty$, massimi e minimi, flessi.

Soluzione

Segno. $y=x^{2}e^{-x}\ge0$ per ogni $x$, con zero (doppio) in $x=0$. Limiti. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{2}e^{-x}=0^{+}$ (asintoto orizzontale $y=0$ a destra); $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{2}e^{-x}=+\infty$. Estremi. $y'=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=x e^{-x}(2-x)$, che si annulla in $x=0$ e $x=2$. In $x=0$ minimo $y=0$; in $x=2$ massimo $y=4e^{-2}\approx0{,}5413$. Flessi. $y''=e^{-x}\left(x^{2}-4x+2\right)$ si annulla in $x=2\pm\sqrt2$ ($\approx0{,}586$ e $\approx3{,}414$): due flessi. $\boxed{\text{min }(0,0);\quad \text{max }\left(2,\,4e^{-2}\right)\approx(2,\,0{,}5413)}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Asintoto · Massimo relativo · Punto di flesso · Segno · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione