56 Problema — Studio di y = x

Testo

Studia $y=\dfrac{x}{x^{2}+1}$: dominio, simmetrie, segno, asintoti, massimi e minimi, flessi.

Soluzione

Dominio e simmetria. Dominio $\mathbb{R}$ (denominatore sempre positivo); la funzione è dispari ($y(-x)=-y(x)$). Segno: $y>0$ per $x>0$, $y<0$ per $x<0$, zero in $x=0$. Asintoti. $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0$: asintoto orizzontale $y=0$. Estremi. $y'=\dfrac{(x^{2}+1)-x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$, che si annulla in $x=\pm1$. In $x=1$ massimo $y=\tfrac12$; in $x=-1$ minimo $y=-\tfrac12$. Flessi. $y''=\dfrac{-2x\,(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}$ si annulla in $x=0$ e $x=\pm\sqrt3$; tre flessi, in $(0,0)$ e $\left(\pm\sqrt3,\pm\tfrac{\sqrt3}{4}\right)$. $\boxed{\text{max }\left(1,\tfrac12\right);\quad \text{min }\left(-1,-\tfrac12\right);\quad \text{asintoto } y=0}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Asintoto · Massimo relativo · Punto di flesso · Segno · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione

Text

Study $y=\dfrac{x}{x^{2}+1}$: domain, symmetry, sign, asymptotes, maxima and minima, inflections.

Solution

Domain and symmetry. Domain $\mathbb{R}$ (denominator always positive); the function is odd. Sign: $y>0$ for $x>0$, $y<0$ for $x<0$, zero at $x=0$. Asymptotes. $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0$: horizontal asymptote $y=0$. Extrema. $y'=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$, vanishing at $x=\pm1$. At $x=1$ maximum $y=\tfrac12$; at $x=-1$ minimum $y=-\tfrac12$. Inflections. $y''=\dfrac{-2x\,(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}$ vanishes at $x=0$ and $x=\pm\sqrt3$: three inflections. $\boxed{\text{max }\left(1,\tfrac12\right);\quad \text{min }\left(-1,-\tfrac12\right);\quad \text{asymptote } y=0}$