Studio di una cubica, intersezioni ed estremi

Testo

Considera la funzione cubica $f(x) = x^3 - x^2 - 56x$.

• (a) Trova le intersezioni con gli assi.
• (b) Calcola la derivata $f'(x)$ e studia il segno per stabilire dove $f$ cresce e dove decresce.
• (c) Trova i valori di $x$ in cui il grafico ha un massimo o un minimo relativo, e il corrispondente valore di $f$.

Soluzione

(a) Intersezioni. $f(x) = x(x^2 - x - 56) = x(x-8)(x+7)$, quindi con l’asse $x$: $x=-7,\ 0,\ 8$. Con l’asse $y$: $f(0)=0$, punto $(0,0)$.

(b) Derivata e monotonia. $f'(x) = 3x^2 - 2x - 56$, che si annulla per $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 672}}{6} = \frac{2 \pm 26}{6} \;\Rightarrow\; x=-4 \ \text{oppure}\ x=\tfrac{14}{3}.$ Poiché la parabola $f'$ è rivolta verso l’alto, $f'>0$ (crescente) per $x<-4$ e per $x>\tfrac{14}{3}$; $f'<0$ (decrescente) per $-4<x<\tfrac{14}{3}$.

(c) Estremi. In $x=-4$ la derivata passa da $+$ a $-$: massimo relativo, con $f(-4) = -64 - 16 + 224 = 144.$ In $x=\tfrac{14}{3}$ la derivata passa da $-$ a $+$: minimo relativo, con $f\!\left(\tfrac{14}{3}\right) = -\tfrac{4900}{27} \approx -181{,}48.$ $\boxed{\text{max } (-4,\,144);\quad \text{min } \left(\tfrac{14}{3},\,-\tfrac{4900}{27}\right)}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Crescenza decrescenza · Derivata · Massimi e minimi
Funzioni: Funzione polinomiale
Competenze: Derivare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione