Studio completo di sin x · e^{-cos x}

Testo

Esegui lo studio completo della funzione $f(x) = \sin x\cdot e^{-\cos x}.$

Soluzione

Passo 1 — Dominio. $f$ è definita per ogni $x\in\mathbb{R}$ (prodotto di funzioni definite ovunque). $f$ è periodica di periodo $2\pi$.

Passo 2 — Simmetrie. $f(-x) = \sin(-x)\cdot e^{-\cos(-x)} = -\sin x\cdot e^{-\cos x} = -f(x).$ Dunque $f$ è dispari (grafico simmetrico rispetto all’origine). Basta studiare $f$ su $[0,2\pi]$ (o su $[0,\pi]$ e ricostruire per simmetria).

Passo 3 — Segno. $e^{-\cos x}>0$ sempre (è un’esponenziale). Quindi $f(x)>0 \iff \sin x > 0 \iff x\in(0,\pi)$ (nel primo periodo). $f(x)<0$ per $x\in(\pi,2\pi)$, mentre $f(x)=0$ per $x=0, \pi, 2\pi$.

Segno di $f$ nel primo periodo: positiva su $(0,\pi)$, negativa su $(\pi,2\pi)$.

Passo 4 — Derivata prima. Con la regola del prodotto e la derivata della composta: $f'(x) = \cos x\cdot e^{-\cos x} + \sin x\cdot e^{-\cos x}\cdot\sin x = e^{-\cos x}(\cos x + \sin^2 x).$ Poiché $e^{-\cos x}>0$, il segno di $f'$ è quello di $\cos x + \sin^2 x = \cos x + 1 - \cos^2 x$. Ponendo $u=\cos x$ dobbiamo studiare $-u^2+u+1 > 0 \iff u^2-u-1<0, \qquad u\in[-1,1].$ Con $\Delta = 1+4 = 5$ si ottiene $u = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. L’unica radice in $[-1,1]$ è $u_0 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0{,}618.$ Quindi $f'(x)>0$ quando $\cos x > u_0$, cioè quando $x$ è “abbastanza vicino” a $0$ o a $2\pi$; $f'(x)<0$ altrimenti. In $(0,2\pi)$ si ha $\cos x = u_0$ per $x\approx 2{,}24$ e $x\approx 4{,}04$. I punti stazionari sono dunque $x\approx 2{,}24 \ (\text{massimo relativo}), \qquad x\approx 4{,}04 \ (\text{minimo relativo}).$

Passo 5 — Derivata seconda. Si lascia come esercizio; il segno di $f''$ determina i flessi.

Passo 6 — Grafico.

Grafico di $f(x)=\sin x\cdot e^{-\cos x}$ su $[0,2\pi]$: massimo relativo $\approx 1{,}46$ vicino a $x\approx 2{,}24$, minimo relativo $\approx -1{,}46$ vicino a $x\approx 4{,}04$. La funzione dispari si prolunga per simmetria rispetto all’origine.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Derivata prima · Dominio · Massimi minimi relativi · Segno · Simmetrie · Studio di funzione
Metodi: Derivate regole · Massimo minimo derivata · Studio funzione
Competenze: Derivare · Studiare funzione · Tracciare grafico
Tipo di esercizio: Studio di funzione