Ricostruzione dei parametri di 2ax³+bx²+cx

Testo

Sia $f(x) = 2ax^3 + bx^2 + cx$.

• (a) trova $a,b,c$ per un flesso in $P(0,1)$ e un estremo relativo in $x=1$ (di’ se massimo o minimo);
• (b) trova $a,b,c$ per un estremo relativo in $P(3,0)$ e uno in $x=-1$;
• (c) trova $a,b,c$ per un flesso in $P(-1,2)$ con tangente di pendenza $2$.

Soluzione

(a) Condizioni incoerenti. Notiamo subito $f(0) = 0$ per ogni scelta di $a,b,c$: il grafico passa sempre per l’origine, quindi un flesso in $P(0,1)$ (ordinata $1$) è impossibile — c’è contraddizione con l’ordinata assegnata. Le sole condizioni geometriche coerenti danno: flesso in $x=0$ → $f''(0) = 2b = 0 \Rightarrow b = 0$; stazionario in $x=1$ → $f'(1) = 6a + c = 0 \Rightarrow c = -6a$. Resta la famiglia $f(x) = 2a\,(x^3 - 3x)$ con $a$ libero. Da segnalare: il vincolo sull’ordinata del flesso è incompatibile.

(b) Sistema sottodeterminato. Con due sole condizioni ($f'(3)=0$ e $f'(-1)=0$) e tre incognite, il sistema non fissa $(a,b,c)$. Imponendo anche $f(3)=0$ (il punto $P(3,0)$ sta sul grafico) oltre a $f'(3)=0$ e $f'(-1)=0$ si ottiene solo la soluzione banale $a=0$ (che degenera la cubica). L’esercizio è mal posto: le condizioni non individuano una cubica propria.

(c) Caso risolvibile. Flesso in $x=-1$: $f''(-1) = 12a\cdot(-1) + 2b = -12a + 2b = 0 \Rightarrow b = 6a$. Passaggio per $(-1,2)$: $f(-1) = -2a + b - c = 2$. Pendenza $2$ nel flesso: $f'(-1) = 6a - 2b + c = 2$. Sostituendo $b = 6a$: $-2a + 6a - c = 2 \Rightarrow 4a - c = 2, \qquad 6a - 12a + c = 2 \Rightarrow -6a + c = 2.$ Sommando: $-2a = 4 \Rightarrow a = -2$, quindi $b = -12$ e $c = 4a - 2 = -10$. $\boxed{a = -2,\quad b = -12,\quad c = -10}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Parametro · Punto di flesso · Studio di funzione
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione