Studio di 1 − e^(−2(x−2)²)

Testo

Studia la funzione $y = 1 - e^{-2(x-2)^2}$:

• studia il segno;
• determina massimi e minimi relativi;
• studia concavità/convessità ed eventuali flessi.

Soluzione

Segno e limiti. Poiché $0 < e^{-2(x-2)^2} \le 1$, si ha $0 \le y < 1$. Inoltre $y = 0$ solo in $x = 2$ (dove l’esponente è nullo), mentre $y > 0$ altrove. Per $x \to \pm\infty$, $e^{-2(x-2)^2} \to 0$, quindi $y \to 1$: la retta $y = 1$ è asintoto orizzontale ($\sup = 1$, non raggiunto).

Estremi. $y' = 4(x-2)\,e^{-2(x-2)^2}$. Il fattore esponenziale è sempre positivo, dunque $y' = 0 \iff x = 2$; qui $y'$ passa da $-$ a $+$: minimo (assoluto) in $(2,\,0)$.

Concavità e flessi. $y'' = 4e^{-2(x-2)^2}\bigl(1 - 4(x-2)^2\bigr)$, che si annulla quando $(x-2)^2 = \tfrac14$, cioè $x = \tfrac32$ e $x = \tfrac52$: due flessi. La funzione è concava verso l’alto tra i flessi ($\tfrac32 < x < \tfrac52$) e verso il basso all’esterno. $\boxed{\text{min } (2,\,0);\quad \text{flessi in } x = \tfrac32,\ \tfrac52;\quad \text{asintoto } y = 1}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Asintoto · Massimo relativo · Punto di flesso · Segno · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione