Rettangolo di area massima inscritto in un cerchio

Testo

Determina l’area massima di un rettangolo inscritto in una circonferenza di raggio $R=5$.

Soluzione

Sia $2x$ la base e $2y$ l’altezza con $x^{2}+y^{2}=R^{2}$; area $A=4xy=4x\sqrt{R^{2}-x^{2}}$. Massimizzando $A^{2}=16x^{2}(R^{2}-x^{2})$: derivata $\propto R^{2}-2x^{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{R}{\sqrt2}=y$ (quadrato). Lato $=R\sqrt2=5\sqrt2\approx7{,}07$; area $A=2R^{2}=50$. $\boxed{A_{\max}=2R^{2}=50\ \text{(quadrato di lato }5\sqrt2\approx7{,}07)}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Massimo minimo · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione